В принципе, по сюжету, конфликт и не обязателен, но с ним лучше. Убиваем сразу трёх зайцев:


1. Семья хорошая, дружная. Не получилось бы приторно. "Ах, мамуленька!... Спасибо папуленька!... Наша чудная доченька!" А конфликты бывают даже в самых замечательных семьях.
2. Пусть зритель/читатель думает сначала, что в этом и суть: родители не дали дочке сделать татуировку. А пьеса-то не об этом.
3. Когда придёт настоящая беда, герои будут вспоминать, из-за каких пустяков они ссорились. Подумаешь, тату!