Все-таки,думаю, связи между словами нет.Близки по звучанию.В поговорке говорится*носится ,как дурак с писанной торбой*.Разберем.Писанная-не письменная.Как писанная красавица,т.е.нарисованная кистью.Оттенки смысла проясняются, если вспомнить поговорку «носишься, как угорелый». Таким образом, ни о какой Торе речь не идет. А имеется в виду, что человек придает слишком большое значение чему-то, не заслуживающему внимания, вроде писаной торбы.